- Matematyka
#1
Zajmiemy się zastosowaniem teorii Galois do rozwiązywania równań wielomianowych. Przy pomocy mocnego narzędzia, jakim jest wspomniana teoria, wyprowadzimy wzory na rozwiązania ogólnych równań stopnia trzeciego i czwartego.

Zaczniemy niejako "od tyłu", rozpoczynając od rozważania funkcji wymiernych trzech zmiennych.

Niech k będzie ciałem (przemiennym) o charakterystyce różnej od 2 i 3. Oznacza to, że w ciele k elementy 2:=1+1 i 3:=1+1+1 są różne od 0. Dzięki temu założeniu w k możliwe jest dzielenie przez 2 i 3.
Załóżmy również, że do k należy pierwiastek pierwotny stopnia 3 z jedynki, który oznaczymy przez z. Z definicji jest to taki element z, że z^3=1, natomiast z i z^2 są różne od 1. Wtedy {1,z,z^2} z mnożeniem jest grupą wszystkich (różnych) pierwiastków stopnia 3 z jedynki w ciele k.
Przykładem ciała k spełniającego to założenie jest ciało liczb zespolonych C, w tym przypadku pierwiastkiem pierwotnym 3 stopnia z 1 jest liczba zespolona
z=1/2 (-1 + 3^(1/2) i) o module 1 i argumencie 120 stopni.

Założenie o istnieniu pierwiastka pierwotnego stopnia 3 z jedynki ma charakter techniczny. Wiadomo, że do ciała o charakterystyce różnej od 3 zawsze można ten pierwiastek w razie potrzeby "dołączyć". Tak też uczynimy na końcu.

Niech L:=k(X_1, X_2, X_3) oznacza ciało funkcji wymiernych trzech zmiennych o współczynnikach w k. Duże litery X_1, X_2, X_3 oznaczają tu "formalne" zmienne.
Wiadomo, że grupa permutacji S_3 zbioru {1,2,3} działa w naturalny sposób na L za pomocą automorfizmów, permutując zmienne.
Niech K oznacza ciało funkcji wymiernych niezmienniczych ze względu na działanie grupy S_3, tj. ciało funkcji wymiernych symetrycznych (nadal 3 zmiennych i o współczynnikach w k).
Rozważmy następujące wielomiany 3 zmiennych (a więc w szczególności funkcje wymierne):
s_1:= X_1 + X_2 + X_3,
s_2:= X_1 X_2 + X_1 X_3 + X_2 X_3,
s_3:= X_1 X_2 X_3.
Są to tzw. podstawowe wielomiany symetryczne.

Z zasadniczego twierdzenia o funkcjach symetrycznych wynika, że każda funkcja wymierna symetryczna f należąca do K powstaje z dokładnie jednej funkcji g należącej do L poprzez wstawienie do niej podstawowych wielomianów symetrycznych, tj. f=g(s_1,s_2,s_3).
Innymi słowy K jest rozszerzeniem ciała współczynników k o elementy s_1,s_2,s_3, czyli
K=k(s_1,s_2,s_3).

Zbadamy dokładniej rozszerzenie L ciała K. Naszym celem będzie wyrażenie elementów X_1, X_2, X_3 z ciała L za pomocą s_1, s_2, s_3 poprzez tzw. pierwiastniki, tj. z wykorzystaniem podstawowych działań algebraicznych i wyciągania pierwiastków stopnia (w tym wypadku) 2 i 3.
Mniej ściśle, chcemy wyrazić X_1, X_2, X_3 możliwie sensownym wzorem za pomocą s_1,s_2,s_3.

Z dotychczasowych określeń wynika, że ciało K jest ciałem punktów stałych grupy S_3 automorfizmów ciała L. Zapisujemy to K=Fix(S_3). Ogólniej, jeśli K=Fix(G) dla pewnej skończonej grupy G automorfizmów ciała L, to rozszerzenie L ciała K nazywamy rozszerzeniem Galois.
Dla rozszerzeń Galois prawdziwe jest tzw. zasadnicze twierdzenie teorii Galois ustalające wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między ciałami pośrednimi M (zawierającymi K i zawartymi w L) a podgrupami grupy G.
Dokładniej, ciału pośredniemu M przyporządkowujemy grupę tych wszystkich automorfizmów L, które są stałe na M. Oznaczamy ją przez Gal(L/M) i nazywamy grupą Galois rozszerzenia L ciała M.
Na odwrót, każdej podgrupie H grupy G przyporządkowujemy ciało Fix(H), które jest ciałem pośrednim między K a L.
Przyporządkowania M -> Gal(L/M) i H ->Fix(H) są wzajemnie odwrotne.

W naszym przypadku mamy K=Fix(S_3) oraz Gal(L/K)=S_3.
W grupie permutacji S_3 rozważmy podgrupę A_3 wszystkich permutacji parzystych. Składa się ona z identyczności oraz permutacji cyklicznych (1 2 3) i (1 3 2).
Gdy oznaczymy s:=(1 2 3), to s^2=(1 3 2) i s^3=id. Mamy zatem A_3={id,s,s^2}, czyli A_3 jest podgrupą grupą cykliczną generowaną przez s (symbol s^2 oznacza złożenie s ze sobą w grupie permutacji).
Niech M=Fix(A_3) będzie ciałem wszystkich tych funkcji wymiernych z L, które nie zmieniają się po zadziałaniu każdej permutacji parzystej z A_3. Nazywamy je też ciałem funkcji wymiernych półsymetrycznych. Z odpowiedniości Galois wiemy, że też Gal(L/M)=A_3.

Grupa Galois rozszerzenia L ciała M jest prosta w opisie, jest grupą cykliczną trójelementową. Wykorzystując tę informację, zobaczymy, jak wyrazić X_1, X_2, X_3 (a więc elementy ciała L) za pomocą funkcji wymiernych półsymetrycznych (z ciała M). Potem pozostanie nam tylko znaleźć sposób wyrażenia funkcji półsymetrycznych za pomocą elementarnych wielomianów symetrycznych s_1,s_2,s_3.

Niech f = X_1 + z X_2 + z^2 X_3.
Jest to element ciała L (wszystkich funkcji wymiernych nad k). Pamiętamy, że z oznacza pierwiastek pierwotny stopnia 3 z jedynki. Zobaczmy, jak działa automorfizm s na elemencie f. Z samego określenia s permutuje w sposób cykliczny zmienne X_1, X_2, X_3, współczynniki pozostawiając bez zmian, zatem
s(f) = X_2 + z X_3 + z^2 X_1.
Działając jeszcze raz s, dostajemy
s^2(f) = X_3 + z X_1 + z^2 X_2.

Zauważmy, że z*s(f) = z X_2 + z^2 X_3 + z^3 X_1 = f (bo z^3=1).
Podobnie z^2 s^2(f) = f.
Stąd f^3 = f * z s(f) * z^2 s^2 (f) = f * s(f) * s^2 (f).
Możemy powiedzieć, że f^3 jest iloczynem obrazów f przez wszystkie elementy A_3 (mówimy też, że jest to iloczyn A_3-orbity elementu f).
Wynika stąd, że
s(f^3) = s( f * s(f) * s^2 (f) ) = s(f) * s^2 (f) * s^3 (f) = s(f) * s^2 (f) * f = f^3.
Podobnie s^2 ( f^3) = f^3.
Dwie ostatnie związki oznaczają, że f^3 jest elementem niezmienniczym względem działania grupy A_3, czyli f^3 należy do Fix(A_3)=M.
Innymi słowy, f^3 jest funkcją wymierną półsymetryczną, zaś samo f jest pierwiastkiem 3 stopnia z pewnej funkcji półsymetrycznej f^3.

Rozważmy teraz podobny wielomian
g= X_1 + z^2 X_2 + z X_3.
Ponieważ z^2 jest też pierwiastkiem 3 stopnia z 1 oraz z=(z^2)^2, sytuacja nie różni się jakościowo od powyższej.
Tym razem z^2 s(g) = g = z s^2(g), g^3 = g * s(g) * s^2 (g) i podobnie jak wyżej g^3 należy do ciała M oraz g jest pierwiastkiem 3 stopnia z g^3.

Zapiszmy układ równań (nad ciałem L, z niewiadomymi X_1, X_2, X_3):

X_1 + z X_2 + z^2 X_3 = f
X_1 + z^2 X_2 + z X_3 = g
X_1 + X_2 + X_3 = s_1,

w którym ostatnie równanie jest po prostu definicją wielomianu symetrycznego s_1.
Układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie, zatem X_1, X_2, X_3 można wyrazić za pomocą elementarnego wielomianu s_1 i funkcji f, g będących pierwiastkami 3 stopnia funkcji półsymetrycznych f^3, g^3.
Oczywiście będziemy chcieli f^3 i g^3 wyznaczyć jawnie.
[-] 2 użytkowników polubił(o) wpis Żółwik:
  • Rival, Ketina
Odpisz

[-]
Brak dostępu



Niestety nie masz dostępu do postów w tym dziale. Zarejestruj lub zaloguj się, żeby zobaczyć resztę postów.




PhobiaSocialis.pl

Forum dla cierpiących na fobię społeczną (lęk społeczny, chorobliwa nieśmiałość, osobowość unikająca, hikikomori). Znajdziesz tu pomoc, informacje i porady, oraz poznasz podobnych ludzi, którzy zrozumieją twoje problemy! Pamiętaj, że nie jesteś sam(a)!

This forum uses Lukasz Tkacz MyBB addons.